El universo y los fractales
La dimensión del universo parece ser un tema bastante sencillo. Podemos movernos en 3 direcciones esencialmente diferentes y por lo tanto vivimos en un espacio de dimensión 3. Si nos complicamos un poco la vida y le preguntamos a un físico, nos puede platicar de física relativista dónde el tiempo depende del espacio y se puede considerar como otra dimensión, entonces estamos en dimensión 4. Si nos seguimos complicando la vida y le preguntamos a otro físico, nos puede platicar de física cuántica en dónde la teoría dice que vivimos en un espacio de dimensión 11 ó 26. Mi intención en este artículo no es decidir cuál de estas opciones es la más sensata, sino proponer una opción mucho menos intuitiva y convencerlos de que la dimensión debe ser 1.23. ¿A qué nos referimos con dimensión? Como dijimos al principio empieza siendo la cantidad de direcciones esencialmente diferentes en las que nos podemos mover. La dimensión de una línea es 1, la dimensión del plano es 2 y así sucesivamente. Entonces regresemos a pensar que el universo tiene dimensión 3 y pensemos en un hilo dentro de ese universo. Si la cuerda no está completamente derecha, realmente está ocupando espacion en las 3 direcciones y podríamos pensarlo como un objeto de dimensión 3. Sin embargo, si hay una hormiga sobre ese hilo, la hormiga sólo siente que se puede mover a lo largo de una dirección. Para ella, a pesar de la curvatura del hilo, está en un mundo de dimensión 1. La física relativista dice que vivimos en cierto sentido como esa hormiga. Ahí el tiempo depende del espacio, por lo que tenemos un mundo de dimensión 4 (llamado espacio-tiempo). Sin embargo, la cantidad de materia en cierto lugar actúa como dándole “curvatura” al espacio-tiempo. Podemos pensarlo como si pusieramos pelotas en una hamaca. Las pelotas más pesadas la doblan más. En este caso la hamaca es como un espacio-tiempo de dimensión 2 y las pelotas son los objetos que hay en el universo. En los modelos de física cuántica, la explicación que le dan a las dimensiones extras es que están tan “dobladas” que realmente no las sentimos, aunque son importantes para determinar cómo se comportan los objetos en escalas microscópicas. ¿Pero qué significa una dimensión fraccional? Intuitivamente suena imposible tener un objeto de dimensión no entera, mucho menos poder dibujarlo. Sin embargo la idea básica está de nuevo pensando en el hilo de hace rato. Si el hilo está completamente recto o un poco doblado tiene dimensión uno. Sin embargo, si está tan enredado que cubre todo el espacio tiene dimensión 3. La pregunta es si podemos enredarlo suficiente como para que tenga dimensión mayor a 1 y menor a 2. La idea de dimensión cambia un poco, pero se puede definir bien y afortunadamente la respuesta es que sí hay objeetos de dimensión no entera. Para dar bien la idea de cómo se forma, vamos a construir uno (en el plano). Para esto, comenzamos con un intervalo. Lo partimos en 3 pedazos iguales y le quitamos la parte de enmedio. En donde estaba esa parte ahora ponemos la parte de arriba de un triángulo equilátero. Ahora nuestro objeto tiene 4 intervalos más chiquitos. Con cada uno de estos repetimos este proceso. Si seguimos haciendo esto, nos acercamos a una curva como la del dibujo. Esta curva se llama la curva de Koch y tiene dimensión 1.26. En cierto sentido es más delgada que un plano pero significativamente más gruesa que una línea. Una hormiga viviendo ahí podría parecer bastante confundida, pero vamos a ver que a nosotros nos pasa casi igual.
Calcular la dimensión fractal de un objeto se puede hacer sólo a través de aproximaciones, pero estamos rodeados de ellos. Un ejemplo son la proteínas. Las proteínas son cadenas de aminoácidos, es decir, como un hilo de dimensión 1. Sin embargo, están tan enredadas por las cargas eléctricas de dichos aminoácidos que se comportan como un fractal de dimensión cercana a 1.54. Para “casi cubrir” una superficie con un objeto que casi no tenga área los fractales traen opciones bastante sencillas y fáciles de describir (como la construccion de la curva de Koch). Por eso no es de sorprender que la distribución de venas y arterias en el cuerpo tengan una distribución aproximada a un fractal. Los ejemplos de objetos que involucran dimensiones fraccionales están en todas partes. Acabamos de dar dos ejemplos microscópicos, pero hay en todos los niveles. Basta ver la distribución de vegetación en zonas casi desérticas, o la formación de costas y montañas para dar con este tipo de objetos. Sin embargo, el ejemplo que motiva este artículo son las aglomeraciones de galaxias. Veamos cómo se comporta la distribución de materia en el universo. Empecemos desde nuestro planeta. Si nos alejamos un poco, vemos que la materia está distribuida en planetas y una estrella, todos en nuestro sistema solar, además de otros objetos más pequeños. Alejándose un poco, resulta que hay muchos sistemas solares, o aglomeraciones grandes de materia alejadas unas de otras. Si nos vamos un poco más lejos, estos sistemas de sistemas solares forman una galaxia. Si seguimos, resulta que las galaxias están aglomeradas por grupos, alejados unos de otros. Este proceso sigue y sigue y se puede hacer también hacia el lado microscópico. La explicación de esto es que se sigue un proceso parecido al de la curva de Koch. Si dejamos una esfera de gas flotando en el espacio, resulta que se acumula (por efecto gravitacional) en 5 pedazos. Cada uno tiene una quinta parte del volumen original y una quinta parte de la masa. Este proceso se repite una y otra vez y tenemos la formación de un fractal. Sin embargo, si calculamos la dimensión de un fractal que se forma de esta manera terminamos con un fractal tipo “polvo” que tiene dimensión 1. Lo que es realmente impresionante es que las observaciones que se han hecho para corrroborar esto arrojan como dimensión el número 1.23. Se ha hecho bastante trabajo para explicar esta discrepancia, pero todo parece tener que ver con la curvatura generada por la materia sobre el universo. De cualquier forma, todo apunta a que estamos en un espacion más grueso que una lína, más delgado que un plano y más delgado incluso que la curva de Koch.
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